반응형

Feedback : smile.k06@gmail.com

 

오랜만에 쓰는 포스팅 입니다. 흐흐.

그간 멘탈이 나가기도 한적도 있었고, 바쁘기도 했었다는 핑계로 살짝 밑밥을 깔아 두고생각나는 수학 주제가 있을 때마다 쓸 주제들을 나열하고는 있었는데, 정리가 안되서 사실 올리지 못했습니다. (약간의 완벽주의가…)

어쨌거나 오늘의 주제는 연립방정식의 가감법과 등호의 관계 입니다.

시작!

 

 

 

이번 포스팅의 내용은, 과거 필자가 연립방정식을 처음 공부할 때 느꼈던 궁금증에서 시작하였다.

우리가 중2과정에서 처음 배우는 연립방정식은, 아주 익숙한 주제중에 하나기도 하다.

사실 고등학교 수1에서 배우는 함수와 직선의 방정식 으로 설명하면 좀더 완벽하게 설명 할 수 있겠지만, 일단은 중학교 과정안에서 어떻게든 해보려고 한다.

우선 예제를 보자.

 

 

 

[1] 연립방정식의 기본 문제

 

[1] 을 보면 습관적으로 가장 먼저 하고 싶은 일이 무엇일까.

맞다. 위의 식에서 밑의 식을 빼고 싶겠지.. 크크.

그걸 우리는 흔히 말해 가감법 이라고 알고 있다.

 

사실 연립방정식을 풀 때 가장 중요한 것은 미지수를 줄이는 것이다.

여러 문자가 있으면 하나의 식으로 해결이 안되므로(사실 해결이 안되는 것은 아니지만, 유한한 개수의 답으로 정해지지 않는다 가 정확한 표현이다.) 여러 식을 이용해 미지수의 개수를 줄이는 것이다.

그 방법중에 하나는 대입법이고, 또 하나는 가감법이라고 알고 있을 것이다.

 

[예제1]을 한번 풀어보도록 하자.

  

[풀이1] 연립방정식의 기본 문제

 

2x가 같으니까 두식을 빼주면 y = 2 만 남게되고,

두 식중에 어떠한 한 식에다 y = 2를 대입하면 쉽게 나머지 x 를 구할 수가 있게 된다.

 

여기까지개 대략적인 가감법에 대한 이야기 인데

 

자 여기서 질문.

어째서 위의 식에서 밑에 식을 뺄 수 있을까. 혹은 더할 수 있을까.

누구 마음대로 식을 더하거나 뺀 것일까.

 

중학교 과정의 연립방정식 전에는 식을 뺀다는 개념이 없어서, 처음 가감법을 배우게 되면 통상 아 그냥 이렇게 풀면 되는구나하고 넘어가기 마련이다.

 

필자의 생각으로는 수학을 공부할 때는 항상 궁금증을 가지는 것이 유리한데,

왜냐면 그 궁금증이 증명을 이끌어 낼 수 있기 때문이다.

증명은 지금까지 가지고 있는 공리를 이용해서 새로운 공리를 만들어 내는 과정이므로, 자연스레 수학의 폭이 넓어 지게 해준다.

 

어쨌거나 질문으로 돌아가보면

어째서 식을 뺄 수 있는가.

그것은 등호의 성질에서 찾아보면 쉽게 알 수 있다.

 

이전 포스팅에서 등호의 성질에 관한 포스팅을 했었는데..

이하와 같다.

 

 

1.     양 변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다.

a = b 이면, a + c = b + c

2.     양 변에 같은 수를 빼주어도 등식은 성립한다.

a = b 이면, a - c = b - c

3.     양 변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다.

a = b 이면, a x c = b x c

4.     양 변에 0이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.

a = b 이면, a ÷ c = a ÷ c ( c ≠ 0)

[2] 등호의 성질

 

등호의 성질의 1번과 2번을 보자.

양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립하고 마찬가지로 양변에 같은 수를 빼더라도 등식은 성립한다.

여기서 다시 풀이 1의 중간과정을 보도록 하자

 

 

[풀이1-1]

 

①의 좌변(2x + 3)에는 의 좌변(2x – 2y)을 빼주었고,

의 우변(5)에는 의 우변(5)을 빼주었다.

 

그런데 잘 생각해보자.

2x + 2y = 3 이다.

다시말해, 2x + 2y 를 다르게 표현하면 3 으로 표현할 수 있다라는 이야기다.

2x + 2y가 아닌 3을 양변에 빼준 것과 같다라는 이야기다.

 

, 의 좌변에는 의 좌변을 빼주었고,

의 우변에는 의 우변을 빼주었던 이 행위는.

의 양 변에 3을 빼준 것과 같다.

 

정리하면,

연립방정식의 가감법은 등호의 성질 중 양변에 같은수를 더하거나 빼주어도 등호는 성립한다라는 성질을 이용한 것에 불과하다.

라는 것이다.

 

대부분의 풀이 방법들은 어떠한 과정을 통해 생겨났다는 점을 생각해보면,

즐겁게 할 수 있을것이다.

 

그럼 안녕~

 

Feedback : smile.k06@gmail.com

 

반응형

+ Recent posts