일반해, 특수해

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작성자 : 3DMP

 

 특수해를 알기전에 일반해에 대해서 먼저 알아야 한다

 

일반해 : 미정계수 C 를 포함하는 해, 즉 미분방정식의 해 가 된다

 

y'' + y = 0 의 일반해는

 

y = C_1 cosx + C_2 sin x 이다

 

확인 방법은 y 를 위 주어진 식에 대입해 보면 된다

 

y' = - C_1 sinx + C_2 cosx

y'' = - C_1 cosx -  C_2 sinx

 

therefore

- C_1 cosx - C_2 sinx + C_1 cosx + C_2 sin x = 0

 

이때 특수해(y_p) 를 구해보면 어떤 주어진 특정 상황이 필요하다

위 식에서 y(0) = -1 , y''(0)= -1 라는 조건이 주어진다면

미정계수 C_1, C_2 를 다음과 같이 결정할 수 있다

 

미정계수 결정 :

C_1 = 1

C_2 = -1

 

그리하여 특수해 y_p 는 다음과 같이 얻을 수 있다

y_p = cosx - sinx

 

여기서 알 수 있는 것은 특수해는 어떤 제한적인, 즉 미리 결정되어 있는 해중의 하나 라는 것이다

 

다시말해 특수해는 일반해범위에 포함 된다는 것 !! (일반해의 계수는 정해져 있지 않음으로...)

 

특수해 : 임의의 매개변수라는 제약이 없는, 매개변수가 결정된 미분 방정식의 해를 특수해라 한다

 

ex) 비동차 미분방정식의 일반해는?

P(D)y = g(x)    , Dy = 0  because D = d/dx

 

P(D)y = g(x)의 일반해는,  P(D)y = 0 을 동차로 볼때의 일반해 y_c 와 P(D)y = g(x) 의 비동차 미분방정식의 특수해(계수가 정해져있는) y_p 를 더한 것

 

그런데 다음과 같이 보다 넓은 특수해를 식 조작으로 구할 수 있다는 것을 알 수 있다

 

A특수해 = 비동차미분방정식의 일반해 Y - 동차미방 y_c

 

A특수해는 비동차미분방정식의 일반해 Y 에서 - 동차미방 y_c 를 한 것임으로 일반해의 범위가 넓다는 성질이 반영되어 A특수해는 제한적이 아닌

 

보다 넓은 특수해가 된다(=A특수해)

 

 

 

실제 특수해가 y_p = e^{-x} 였다면  A특수해로 봤을때 y_p = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x}  꼴인 보다 넓은 특수해의 형태로 나타낼 수 있다

 

즉 계수를 정해 실제 특수해를 구하는 것이다

 

C_2 를 0 으로 잡으면 원래의 y_p 를 구할 수 있다

 

미정계수를 결정하는 방법은 C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x} 을 원래의 식에 다시 대입하여 계수를 결정하면 된다

 

g(x) 에 대한 해 임으로 원래의 좌항식에 C_1 e^{-x} + C_2 e^{-3x} 을 대입하면 우항인 g(x) 와 유사한 식이 좌항에 나타나게 된다

 

 

tip : 해가 늘어날 때마다 + 로 연결하면 된다, 즉 해가 늘어나는 것은 + 로 연결하여 늘려주면 된다는 것인데

동차의 일반해 두개가 + 로 묶인것 처럼 y_p 도 + 로 묶어주면 전체 DE의 일반해가 된다

- 이것은 정확은 증명은 아니지만 유사한 것이라고도 볼 수 있다