계수낮추기(계수저하법) , y2 = y1 ∫ ( (e^- ∫ pdx)/y1^2 ) dx

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아래 과정이 조금 긴감이 있어서 간략하게 중요부분을 살짝 짚어보자면..

 y'' 와 y' 그리고 y 와 구해져 있는 해 y1 를 동차 선형미방식의 기본꼴에 넣어

 

구하고자하는 y = 에 대하여 풀이를 해보니

 

구하고자하는 다른 하나의 y2 = y1  ∫ (  (e^- ∫ pdx)/y1^2 ) dx  의 식이 나온다 여기서 p =p(x) 는

 

y'' 의 개수가 1인 표준형으로 만들었을때의 상태를 만들 수 있으면 

 

y'' + P(x)y' + Qy=0 일때의 P(x) 값이다

 

a2(x)y'' + a1(x)y' + a0(x)y=0 일때 이것을 표준형

 

y'' + a1(x)/a2(x)y' + a0(x)/a2(x)y=0  으로 만들었을때의 값이다 p(x) = a1(x)/a2(x)

 

 

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아래부터는 첨부내용

hematics_예제57,예제58_y2를 y1u(x) 로 두는 이유_김대원.hwp 

어떤 선형미방식이 하나 주어진다

 

x^2y'' - 6y = 0 이처럼 그리고 이에 대한 해 2개 중 하나가 주어진다 y1 = x^3

 

x^2y'' - 6y = 0  은 =0 임으로 동차미방으로써 해는 무수히 많을 수 있지만

 

2개의 해를 일차 독립으로 나타낼 수 있다면 이것을 x^2y'' - 6y = 0  의 일반해라 한다

 

 

 

 

계수 저하법, 계수 낮추기는 구해진 하나의 해에서 다른 하나를 구해나가는 방식이다

 

 

 

우선 1차 독립은 두개의 해를 선형결합으로 나타내면서 각 해의 상수 값이 c1=0, c2=0 일때만 1차 독립이라 한다

 

그리고 1차 종속은  두개의 해에 대한 선형결합 !=0  일때를 말한다 (!= 은 양변이 같지 않다를 나타냄)

 

일차독립일때 두개의 해를 y1,y2 라 한다면

 

y2/y1 = 상수가 아닌게 된다

 

c1y1,  c2y2

 가 둘다 0 일때만 일차 독립임으로 y2/y1 의 비는 어떠한 상수로 풀이되지 않는다(어떤 함수로 풀이됨)

 

1차 종속이면 한 해가 다른 해의 상수배가 된다

(이에대한 자세한 내용은 첨부파일을 확인)

 

 

그래서 두개의 해중 구해야할 해가 하나 있음으로 구해야 할 것을 y 로 놓고 풀어나간다

 

y2/y1 = u(x) 라고 놓으면

 

y2 = u(x)y1

 

y2 를 구해야 할 것으로 놓는다면

 

y = u(x)x^3 으로 놓고 풀어나갈 수 있다

 

 

이때 구해야 할 y 는   x^2y'' - 6y = 0  식에 대한  -6y 의 y 로 볼 수 있다

 

 

그래서

 

 

y = u(x)x^3          [식.0] 을

 

y' = (u(x)x^3)'     [식.1]

y'' = (u(x)x^3)''   [식.2]

 

 

로 두번 미분하면 x^2y'' - 6y = 0  의 식에서 x^2y''  은 y  를 두번미분한 [식.2]에 x^2를 곱한것과 같다 할 수 있다

 

 

x^2y'' = x^2(u(x)x^3)''

 

이렇게.....  음.. 그렇지..

 

그럼 -6y 도 -6 * [식.0] 해서

 

x^2y'' - 6y = f(x,y)

 

f(x,y) 를 구하면 이 식이   x^4(xu'' + 6u')=0 꼴로 나타남을 알 수 있다

 

[여기서 x 에다가 0 을 넣어서 전체가 0 이 되게 만들면 의미가 없다, 구하려는 것은

  y=x 의 두개의 해이다 즉 미방의 해는 y=x 로 풀이 되는 함수를 구하는 것임으로]

 

그럼 여기서 xu'' + 6u' = 0 이 될때 전체가 0 이 됨으로

 

이것은 곳 미방풀이가 된다  이때 치환을 하여 풀어 나간다 u=u(x) ,  u'=w , w' = u ''

 

xw' + 6w = 0

 

이리하여

 

 

w' + 6/xw = 0 가 되어 이 식의 해를 구할 수 있는 적분인자 e^∫ 6/x dx

 

를 구해 w' + 6/xw = 0 에 곱하여 { x^6w }'=0  를 구하고

 

{ x^6w }'=0 을 적분해

 

x^6w = C0

 

를 구한 후

 

w = C0x^-6

 

에서 w 치환 한것을 다시 원상복귀

 

u' = C0x^-6     ,그럼 이것을 다시 x 에 대하여 적분을 하면 u 를 구할 수 있다 u 는 x 에 대한 함수 임으로

 

u =  ∫ C0x^-6 dx

 

이렇게 구한 u 를 처음의 ㅅㄱ

 

y = u x^3 에 u 자리에 이것을 넣으면

 

 

y 는 구하려고 하는 나머지 하나의 해

y = ∫ C0x^-6 dx *  x^3

 

 

이렇게 하여 나머지 y 를 구할 수 있고

 

 

C1구한y + C2x^3=0 이면 1차 독립

 

 

구한 y 를 Y 라고 해놓고

 

Y 와 원래 구해져 있던 x^3 과 1차 독립을 이루는 지 확인하기 위해

 

 

론스키 행렬식을 구해 0 이 아닌 행렬값이 나오면 1차 독립이다

 

론스키 행렬식

 

| Y   x^3 |

| Y'  x^3'|  != 0   이면 1차 독립 으로써 Y' 과 x^3  즉

 

C1Y + C2x^3=0

 

이것이  동차2계선형미방의 해가 된다